Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 2, SA vuông góc (ABC) và SA = 5. Gọi M là trung điểm BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SM là (kết quả làm tròn đến hàng p

27/40

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = 2$, $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $SA = 5$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SM$là(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

$0,89$.

$0,98$.

$0,96$.

$0,69$.

Giải thích

$Gọi $N$ là trung điểm $AB$. Xét ta (ảnh 1)$

Gọi $N$ là trung điểm $AB$. Xét tam giác $ABC$ có $MN$ là đường trung bình. Suy ra $AC\parallel MN$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AC\parallel MN\\MN \subset \left( {SMN} \right)\\AC \not\subset \left( {SMN} \right)\end{array} \right.$$ \Rightarrow AC\parallel \left( {SMN} \right)$.

Do đó $d\left( {AC,SM} \right) = d\left( {AC,\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right)$.

Trong $\left( {SAB} \right)$, vẽ $AH \bot SN$ tại $H$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}MN \bot AB\,\left( {MN\parallel AC,\,AC \bot AB} \right)\\MN \bot SA\,\left( {\,SA \bot \left( {ABC} \right),\,MN \subset \left( {ABC} \right)} \right)\\AB \cap SA = A\,\end{array} \right.$$ \Rightarrow MN \bot \left( {SAB} \right)$.

Mà $AH \subset \left( {SAB} \right)$ nên $MN \bot AH$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AH \bot MN\\AH \bot SN\\MN \cap SN = N\,\end{array} \right.$$ \Rightarrow AH \bot \left( {SMN} \right)$ tại $H$.

Do đó $d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = AH$.

Xét tam giác $SAN$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao có

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{N^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{5^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{5\sqrt {26} }}{{26}}$.

Vậy $d\left( {AC,SM} \right) = AH = \frac{{5\sqrt {26} }}{{26}} \approx 0,98$. Chọn B.