Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh AC= 2a căn bậc hai 2.

36/50

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh \[AC = 2a\sqrt 2 \]. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh AB. Thể tích khối chóp S.ABC bằng \[\frac{{2{a^3}}}{3}\]. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] bằng

\[2a\sqrt 2 \]

\[a\sqrt 2 \]

\[\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\]

\[\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]

Giải thích

Đáp án B

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh AC= 2a căn bậc hai 2. (ảnh 1)

Cạnh \[AB = BC = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = 2a\]

Gọi H là trung điểm của cạnh \[AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\]

\[ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}SH.\frac{1}{2}.2a.2a = \frac{{2{a^3}}}{3} \Rightarrow SH = a\].

Kẻ \[HP \bot SB \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right) = 2HP\]

\[\frac{1}{{H{P^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{HB2}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow HP = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\]. Chọn B.