Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tai B,AB = a,SA = a căn 3

26/235

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tai \(B,AB = a,SA = a\sqrt 3 \) và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Gọi \(M\) là điểm trên cạnh \(AB\) và \(AM = x\,\,(0 < x < a)\) mặt phẳng (\(\alpha \)) đi qua \(M\)và vuông góc với \(AB\). Giả sử thiết diện của hình chóp\(S.ABC\) với \(\left( \alpha \right)\) là tứ giác \(MNPQ\). Tìm \(x\) để thiết diện \(MNPQ\) lớn nhất?

\(x = \frac{a}{2}\).

\(x = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\).

\(x = \frac{{3a}}{2}\).

\(x = a\).

Giải thích

Đáp án A

\(x = \frac{a}{2}\).

Giải thích

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tai B,AB = a,SA = a căn 3 (ảnh 1)

Ta tìm được \(MNPQ\) là hình chữ nhật

\(MQ = AM = x,\frac{{MN}}{{SA}} = \frac{{MB}}{{AB}} \Rightarrow MN = \frac{{\left( {a - x} \right)a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \left( {a - x} \right)\)

\({S_{MNPQ}} = MN.MQ = \sqrt 3 \left( {a - x} \right)x = \sqrt 3 \left[ {\frac{{{a^2}}}{4} - {{\left( {x - \frac{a}{2}} \right)}^2}} \right] \le \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy \({\rm{max}}{S_{MNPQ}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) khi \(x = \frac{a}{2}\).