Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a căn bậc hai 2. Biết SA vuông góc (ABC) và SA = a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).

Hướng dẫn giải

Kẻ \(AM \bot BC\) tại \(M\).

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(AM \bot BC\)\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SAM} \right) \bot BC\\\left( {SAM} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SM\\\left( {SAM} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AM\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SM,AM} \right)\).

Suy ra góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng góc \(\widehat {SMA}\).

Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat {ABC} = 45^\circ \).

Xét \(\Delta AMB\) vuông tại \(M\), ta có \(AM = AB.\sin \widehat {ABM} = a\sqrt 2 .\sin 45^\circ  = a\).

Xét \(\Delta SAM\) vuông tại \(A,\)\(\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat {SMA} = 45^\circ \).