Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AB = a căn bậc hai 2 , SA = a. Gọi H là trung điểm cạnh BC. a) Chứng minh BC vuông góc (SAH)

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC vuông cân tại A có AH là trung tuyến cũng là đường cao \( \Rightarrow BC \bot AH\)

\(\left. \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot SA\,\,(SA \bot \left( {ABC} \right),BC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right)\).

b)  Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AI \bot AH\,\,(gt)\\AI \bot BC\,\,(BC \bot \left( {SAH} \right),AI \subset \left( {SAH} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AI \bot \left( {SBC} \right)\)

Mà \(AI \subset \left( {AIC} \right) \Rightarrow \left( {AIC} \right) \bot \left( {SBC} \right)\)

c) Tam giác ABC vuông cân tại A, có \(AB = a\sqrt 2  \Rightarrow BC = 2a \Rightarrow AH = a\)

Tam giác SAH có: \(SA = AH = a \Rightarrow \Delta SAH\) vuông cân tại A

\( \Rightarrow \)I là trung điểm của SH

Gọi K là trung điểm của AH\( \Rightarrow IK\)là đường trung bình của tam giác SAH \( \Rightarrow IK//SA\)

\( \Rightarrow IK \bot \left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow \)K là hình chiếu của I lên (ABC)

\( \Rightarrow \)BK là hình chiếu của BI lên (ABC)

\( \Rightarrow \left( {BI,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {BI,BK} \right) = \widehat {IBK}\)

\(KH = \frac{{AH}}{2} = \frac{a}{2}\)

\(BH = \frac{{BC}}{2} = a\) \( \Rightarrow BK = \sqrt {B{H^2} + K{H^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\(IK = \frac{{SA}}{2} = \frac{a}{2}\)\( \Rightarrow \tan \widehat {IBK} = \frac{{IK}}{{BK}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).