Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là một điểm nằm trên đoạn thẳng BC. Mặt phẳng (SAB) tạo với (SBC) một góc 6

Đáp án C

Gọi O là trung điểm của BC, qua O kẻ tia Oz cắt SC tại B.

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ở đó:

  O(0;0;0),A(1;0;0),B(0;−1;0),C(0;1;0),S(0;m;n).

⇒AB→=(−1;−1;0),AC→=(−1;1;0),AS→=(−1;m;n).

Mặt phẳng (SBC):x=0 có vectơ pháp tuyến i→=(1;0;0).

Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến n1→=[AC→,AS→]=(n;n;−m+1).

Mặt phẳng (SAB)  có vectơ pháp tuyến n2→=[AB→,AS→]=(−n;n;−m−1).

cos60°=|n1→.i→||n1→|.|i→|=|−n|2n2+(−m−1)2⇔12=|−n|2n2+(−m−1)2⇔4n2=2n2+(−m−1)2⇔2n2=(−m−1)2   (1)cosφ=|n1→.i→||n1→|.|i→|=|n|2n2+(−m+1)2=24⇔4|n|=4n2+2(−m+1)2⇔6n2=(1−m)2   (2)Từ (1) và (2) suy ra  3(m+1)2=(1−m)2⇔[m=−2+3m=−2−3⇒[n=2−3n=2+3.

⇒[S(0;−2+3;2−3)S(0;−2−3;2+3)

⇒[H(0;−2+3;0)H(0;−2−3;0)⇒[SH=2−3,AH=1+(−2+3)2=22−3SH=2+3,AH=1+(−2−3)2=22+3⇒tanα=SHAH=12