Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Biết AB = 1; SA = 2 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SM.

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB\) và \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SN\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AC{\rm{ // }}MN\\MN \subset \left( {SMN} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AC{\rm{ //}}\left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {AC;SM} \right) = d\left( {AC;\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right){\rm{ }}\)

Do \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\) nên \(MN \bot AB\) mà \(MN \bot SA\)

Do đó \(MN \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow MN \bot AH\)

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}MN \bot AH\\SN \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right) = AH\)

Ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{1}{{{{4.1}^2}}} + \frac{4}{{{1^2}}} = \frac{{17}}{{{{4.1}^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \frac{{2\sqrt {17} }}{{17}}\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SM\) bằng \(0,49\).