Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = a căn bậc hai 2, SC là đường

41/50

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, \(BC = a\sqrt 2 \), SC là đường cao, \(SC = a\). Mặt phẳng qua C, vuông góc với SB cắt SA, SB lần lượt tại E, F. Tính thể tích khối chóp S.CEF.

\(V = \frac{{{a^3}}}{{18}}\)

\(V = \frac{{{a^3}}}{{36}}\)

\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{36}}\)

\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{18}}\)

Giải thích

Đáp án B

Phương pháp:

\(\frac{{{V_{S.CEF}}}}{{{V_{S.CAB}}}} = \frac{{SE}}{{SA}}.\frac{{SF}}{{SB}}\)

Cách giải:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = a căn bậc hai 2, SC là đường (ảnh 1)

+) Tính thể tích khối chóp S.ABC:

Tam giác ABC vuông cân tại A, \(BC = a\sqrt 2 \Rightarrow AB = AC = a\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}{a^2} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SC = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}{a^2}.a = \frac{1}{6}{a^3}\)

+) Chứng minh \(CF \bot SB,\,\,CE \bot SA\):

Ta có: \(\left( {CEF} \right) \bot SB \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CF \bot SB\\CE \bot SB\end{array} \right.\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\AB \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow AB \bot CE\), mà \(SB \bot CE \Rightarrow CE \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CE \bot SA\)

+) Lập tỉ số thể tích của khối chóp S.CEF và S.ABC:

Tam giác SBC vuông tại C, CF là đường cao \[ \Rightarrow S{C^2} = SF.SB \Rightarrow \frac{{S{C^2}}}{{S{B^2}}} = \frac{{SF}}{{SB}} \Rightarrow \frac{{SF}}{{SB}} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2{a^2}}} = \frac{1}{3}\]

Tam giác SAC vuông tại C, CE là đường cao\[ \Rightarrow S{C^2} = SE.SA \Rightarrow \frac{{S{C^2}}}{{S{A^2}}} = \frac{{SE}}{{SA}} \Rightarrow \frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {a^2}}} = \frac{1}{2}\]

Ta có: \(\frac{{{V_{S.CEF}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SF}}{{SB}}.\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{6} \Rightarrow {V_{S.CEF}} = \frac{1}{6}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}.\frac{1}{6}{a^3} = \frac{{{a^3}}}{{36}}\)