Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân có AB=BC=a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc SBA=60 độ . Gọi M là điểm nằm trên AC sao cho AC=2CM . Tính khoảng cách giữa SM và AB.

Đáp án D

Trong (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với AB, qua B kẻ đường thẳng song song với AM. Hai đường thẳng này cắt nhau tại E ta được tứ giác ABEM là hình bình hành.

Vì ME//AB⇒AB//(SME)⇒d(AB;SM)=d(AB;(SME))=d(A;(SME))

Từ A trong mặt phẳng (ABEM)  kẻ AK⊥ME, lại có:  (do ).

Trong (SAK)  kẻ AH⊥SK tại H.

Ta có  (do SA⊥(ABEM)⇒EK⊥(SAK))

 ⇒AH⊥(SKE) tại H.

Từ đó d(AB;SM)=d(A;(SME))=AH.

Xét tam giác SBA vuông tại A có SA=AB.tanSBA=a.tan60°=a3.

Lại có tam giác ABC vuông cân tại B nên AC=AB2=a2⇒CM=AC2=a22.

Do đó AM=AC+CM=3a22.

 ΔABCvuông cân tại B nên ACB=45°⇒CBE=ACB=45° (hai góc so le trong). 

Từ đó ABE=ABC=CBE=90°+45°=135°, suy ra  (hai góc đổi hình bình hành).

Nên tam giác AME là tam giác tù nên K nằm ngoài đoạn ME.

Ta có:  mà tam giác AMK vuông tại K nên tam giác AMK vuông cân tại K. ⇒AK=AM2=3a2

Xét tam giác SAK vuông tại A có đường cao AH, ta có: 1AH2=1SA2+1AK2=13a2+19a2⇒AH=3a77.

Vậy d(AB;SM)=3a77