Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm H của cạnh AB. Biết SH = a căn bậc hai(3)/2 và mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳ

73/235

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt đáy là trung điểm $H$ của cạnh $AB$. Biết $SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ và mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng

$\frac{{{a^3}}}{4}$.

$\frac{{{a^3}}}{{16}}$.

$\frac{{{a^3}}}{2}$.

$\frac{{3{a^3}}}{8}$.

Giải thích

Phương pháp giải:

$V = \frac{1}{3} \cdot SH \cdot {S_{ABC}}$

Giải chi tiết:

$Vậy thể tích khối chóp \(S.ABC\ (ảnh 1)$

Kẻ $MB \bot SC\left( {M \in SC} \right)$. Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{SH \bot AB}\\{HC \bot AB}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHC} \right) \Rightarrow AB \bot SC$.

Do đó $SC \bot \left( {AMB} \right) \Rightarrow SC \bot MH$ và $\widehat {AMB} = {90^0}$. Đặt $AB = x \Rightarrow HC = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}$.

Trong ${\rm{\Delta }}AMB$ vuông tại $M$ có $MH \bot AB$ tại trung điểm $H$ của $AB$ nên ${\rm{\Delta }}AMB$ vuông cân tại $M$. Suy ra $MH = \frac{{AB}}{2} = \frac{x}{2}$.

Ta có ${\rm{\Delta }}CHS \sim {\rm{\Delta }}CMH$ nên $\frac{{SH}}{{SC}} = \frac{{MH}}{{HC}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{SC}} = \frac{{\frac{x}{2}}}{{\frac{{x\sqrt 3 }}{2}}} \Leftrightarrow SC = \frac{{3a}}{2}$.

Trong ${\rm{\Delta }}SHC$ có $HC = \sqrt {S{C^2} - S{H^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 $.

Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V = \frac{1}{3} \cdot SH \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{4}$.