Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA vuông góc với (ABC). Biết rằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3a/4. Tính tan alpha với alpha là góc tạo bởi giữa cạ
8/22
Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh \[a\] và \[SA \bot \left( {ABC} \right)\]. Biết rằng khoảng cách từ điểm \[A\] đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] bằng \[\frac{{3a}}{4}\]. Tính \[\tan \alpha \] với \[\alpha \] là góc tạo bởi giữa cạnh \[SB\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\]
\[\frac{{\sqrt 3 }}{4}\].
\[\frac{3}{2}\].
\[\frac{1}{2}\].
\[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\].
Đáp án đúng là B
Gọi \[M\] là trung điểm của \[BC\], dựng \[AK \bot SM\] thì \[d\left( {A,\,\left( {SBC} \right)} \right) = AK = \frac{{3a}}{4}\].
Mà \[ABC\] là tam giác đều cạnh \[a\] nên \[AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].
Ta có: \[\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{{16}}{{9{a^2}}} - \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{4}{{9{a^2}}} \Rightarrow SA = \frac{{3a}}{2}\].
Góc tạo bởi giữa cạnh \[SB\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là góc \[\widehat {SBA} = \alpha \] nên \[\tan \alpha = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{3}{2}\]