Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết SA vuông góc (ABC) và SA = a căn bậc hai 3. Gọi M;N;P lần lượt là trung điểm của SA;SB;SC. Tính thể tích khối chóp MNP.ABC.

33/39

Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh \(a\). Biết \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] và \(SA = a\sqrt 3 \). Gọi \[M;\,N\,;P\] lần lượt là trung điểm của \[SA;\,SB\,;\,SC\]. Tính thể tích khối chóp \[MNP.ABC\].

\(\frac{a}{4}\).

\(\frac{{{a^3}}}{{12}}\).

\(\frac{{7{a^3}}}{{32}}\).

\(\frac{{3{a^3}}}{{32}}\).

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết SA vuông góc (ABC) và SA = a căn bậc hai 3. Gọi M;N;P lần lượt là trung điểm của SA;SB;SC. Tính thể tích khối chóp MNP.ABC. (ảnh 1)

Ta có \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{4}\).

Vì \(\frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SP}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\).

Do đó \({V_{S.MNP}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{8}.\frac{{{a^3}}}{4} = \frac{{{a^3}}}{{32}}\).

Suy ra \({V_{MNP.ABC}} = {V_{S.ABC}} - {V_{S.MNP}} = \frac{{7{a^3}}}{{32}}.\)