Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết SA = a căn bậc hai của 2 và SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu vuông góc của A lên SM

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Vì \(\Delta ABC\) đều, \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(AM \bot BC\) (1).

Mà \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).

b) Vì \(AH \bot SM\) và \(BC \bot AH\) nên \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

c) Ta có \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét \(\Delta SAM\) có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{{11}}{{6{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\).

d) Vì \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) nên \(SH\) là hình chiếu của \(SA\) trên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

Do đó \(\left( {SA,\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {SA,SH} \right) = \widehat {ASH}\).

Xét \(\Delta SHA\) vuông tại \(H\), có \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {2{a^2} - \frac{{6{a^2}}}{{11}}}  = \frac{{4a\sqrt {11} }}{{11}}\).

Do đó \(\tan \widehat {ASH} = \frac{{AH}}{{SH}} = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}:\frac{{4a\sqrt {11} }}{{11}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\).