Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng 30 độ. Biết AB=5, BC=8, AC=7. Với HA, HB, HC lần lượt là hình chiếu vuông góc của SA, SB, SC lên (ABC)

45/100

Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng $30^{°}$ . Biết $AB = 5$, $BC = 8$, $AC = 7$. Với HA, HB, HC lần lượt là hình chiếu vuông góc của SA, SB, SC lên (ABC). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

ĐúngSai

$SH = \frac{7}{3}$.

ĐúngSai

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{{39\sqrt {35} }}{{25}}$.

ĐúngSai

Giải thích

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai

Phương pháp giải.

Sử dụng tính chất hình chóp có các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau.

Tính thể tích và sử dụng công thức khoảng cách $d(A,(SBC)) = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}}$.

Lời giải chi tiết.

Media VietJack

Theo giả thiết ta có $\hat{S A H} = \hat{S B H} = \hat{S C H} = 30^{°} \Rightarrow Δ S A H = Δ S B H = Δ S C H \Rightarrow H A = H B = H C$

Do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. (Phát biểu a Sai).

Nửa chu vi tam giác ABC là $p = \frac{{5 + 8 + 7}}{2} = 10 \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \sqrt {10(10 - 5)(10 - 8)(10 - 7)} = 10\sqrt 3 $.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp $HA = R = \frac{{AB \times BC \times AC}}{{4{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{5 \times 8 \times 7}}{{4 \times 10\sqrt 3 }} = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}$.

Chiều cao hình chóp $S H = A H \times \tan 30^{°} = \frac{7 \sqrt{3}}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{7}{3}$ . (Phát biểu b Đúng).

Thể tích ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH \times {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3} \times \frac{7}{3} \times 10\sqrt 3 = \frac{{70\sqrt 3 }}{9}$.

Ta có các cạnh bên $S B = S C = \frac{H B}{\cos 30^{°}} = \frac{14}{3}$

Nửa chu vi tam giác SBC là $p' = \frac{{14/3 + 14/3 + 8}}{2} = \frac{{26}}{3}$.

${S_{\Delta SBC}} = \sqrt {p'(p' - SB)(p' - SC)(p' - BC)} = \frac{{8\sqrt {13} }}{3}$.

Khoảng cách từ A đến (SBC) là $d(A,(SBC)) = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}} = \frac{{3 \times \frac{{70\sqrt 3 }}{9}}}{{\frac{{8\sqrt {13} }}{3}}} = \frac{{35\sqrt {39} }}{{52}}$. (Phát biểu c Sai).