Cho hình chóp S.ABC có AB = 4a, BC = 3 căn bậc hai 2 a, góc ABC = 45 độ, góc SAC = góc SBC = 90 độ ; Sin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng căn bậc hai 2/4 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp
Giải thích
Chọn A
Do SA⊥AC, SB⊥BC nên S,A,B,C nằm trên mặt cầu đường kính SC,
Ta có AC2=AB2+BC2−2AB.BC.sin450=10a2⇒AC=a10
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)
Ta có CA⊥SA và CA⊥SH nên CA⊥HA
Tương tự: CB⊥HB
Khi đó ABCH nội tiếp đường tròn đường kính HC nên HC=ACsin450=25a
Ta có: HB=HC2−BC2=a2
Gọi K, I là hình chiếu vuông góc của C và của H lên AB. Khi đó ΔCKB và ΔHIB vuông cân nên CK=32a2=3a và HI=HB2=a
Do đó dH,SABdC,SAB=HICK=13
Ta có sinα=24⇒dC,SABCB=24⇒dC,SAB=CB.24=3a2⇒dH,SAB=a2
Khi đó 1SH2=1d2H,SAB−1HI2=4a2−1a2=3a2⇒SH2=a23
Vậy SC=SH2+HC2=a23+20a2=a1833, suy ra bán kính mặt cầu R=a1836