Cho hình chóp S.ABC, biết SA vuông góc với mặt phẳn

19/22

Cho hình chóp \[S.ABC\], biết \[SA\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] và \[SA = 2\sqrt 3 \]. Tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\] với \[AB = 6,BC = 8\]. Gọi \[M\] là trung điểm của \[BC\].

Giá trị của \[\left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {AM} } \right| + \overrightarrow {SM} .\overrightarrow {AB} \] bằng bao nhiêu?

Giải thích

Đáp án: \[60\].

Cho hình chóp S.ABC, biết SA vuông góc với mặt phẳn (ảnh 1)

\[\left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {AM} } \right| + \overrightarrow {SM} .\overrightarrow {AB} = \left| {\overrightarrow {SM} + 2\overrightarrow {SM} } \right| + \left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AM} } \right).\overrightarrow {AB} = 3SM + \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} \]

\[\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB} = 0\] vì \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \[SA \bot AB\].

\[\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right).\overrightarrow {AB} = {\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {AB} = 36 + 0 = 36\]

\[SM = \sqrt {S{A^2} + A{M^2}} = \sqrt {S{A^2} + A{B^2} + B{M^2}} = \sqrt {12 + 36 + 16} = 8\]

\[\left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {AM} } \right| + \overrightarrow {SM} .\overrightarrow {AB} = 3.8 + 0 + 36 = 60\].