Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành,

5/235

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, cạnh $A B = 2 a, B C = 2 a \sqrt{2}, O D = a \sqrt{3}$ Tam giác SAB nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi d là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng SAB. Giá trị ${(\frac{d}{a})}^{2}$ bằng

Đáp án: __

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Áp dụng định lý: $\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( P \right) \bot \left( Q \right)}\\{\left( P \right) \cap \left( Q \right) = {\rm{\Delta }}}\\{d \in \left( P \right)}\\{d \bot {\rm{\Delta }}}\end{array}} \right\} \Rightarrow d \bot \left( Q \right)$

Lời giải

Trong $\left( {ABCD} \right)$, kẻ $OP \bot AB$.

Do $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB \Rightarrow OP \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OP.}\\{AB \bot OP \subset \left( {ABCD} \right)}\end{array}} \right.$

Từ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB = 2a}\\{BC = 2a\sqrt 2 }\\{OD = a\sqrt 3 }\end{array} \Rightarrow A{B^2} + A{D^2} = 4{a^2} + 8{a^2} = 12{a^2} = {{(2OD)}^2} = B{D^2}} \right.$

$ \Rightarrow \Delta BAD$ vuông tại $A$, trên $\left( {ABCD} \right)$, ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OP \bot AB}\\{AD \bot AB}\end{array} \Rightarrow OP//AD} \right.$.

Mà $O$ là trung điểm của $BD \Rightarrow OP = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}.2a\sqrt 2 = a\sqrt 2 \Rightarrow d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = a\sqrt 2 $

$ \Rightarrow \frac{d}{a} = \sqrt 2 \Rightarrow {\left( {\frac{d}{a}} \right)^2} = 2$