Cho hình chóp S . ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và BC ; G , G ′ lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và SBC . Chứng minh GG ′ / / ( SAC ) .

38/76

(1,0 điểm)

a) Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC;$$G,$$G'$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $SAB$ và $SBC$. Chứng minh $GG'\,{\rm{//}}\,\left( {SAC} \right)$.

b) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang với $AD\,{\rm{//}}\,BC$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SAD;$$E$ là điểm thuộc đoạn $AC$ sao cho $EC = xEA,\,\,\left( {x > 0} \right)$. Tìm $x$ để $GE\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Gọi $K$ là trung điểm của $SB$ suy ra $G,$ $G'$ thuộc mặt phẳng$\left( {KAC} \right)$.

Ta có: $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ nên $\frac{{KG}}{{KA}} = \frac{1}{3}$;

Và $G'$ là trọng tâm tam giác $SBC$ nên $\frac{{KG'}}{{KC}} = \frac{1}{3}$

Khi đó $\frac{{KG}}{{KA}} = \frac{{KG'}}{{KC}}$, suy ra $GG'{\rm{//}}AC$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}GG'{\rm{//}}AC\\GG' \not\subset \left( {SAC} \right)\\AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow GG'{\rm{//}}\left( {SAC} \right)$.

$Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $M$, $N$ l (ảnh 1)$

Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $AD.$

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ giả sử $IE$ và $BC$ cắt nhau tại điểm $Q$.

Dễ thấy $SQ = \left( {IGE} \right) \cap \left( {SBC} \right)$.

Do đó: $GE\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)$$ \Leftrightarrow GE{\rm{//}}SQ$

$ \Leftrightarrow \frac{{IE}}{{IQ}} = \frac{{IG}}{{IS}}$ $ \Rightarrow \frac{{IE}}{{IQ}} = \frac{1}{3}$ (1)

$Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $M$, $N$ l (ảnh 2)$

Mặt khác nên $\frac{{EI}}{{EQ}} = \frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{EA}}{{xEA}} = \frac{1}{x}$ suy ra $EQ = x.EI$.

$ \Rightarrow \frac{{IE}}{{IQ}} = \frac{{IE}}{{IE + EQ}} = \frac{{IE}}{{IE + x.IE}} = \frac{1}{{1 + x}}$ (2)

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow \frac{1}{{1 + x}} = \frac{1}{3}$ $ \Leftrightarrow x = 2$.

Vậy $GE\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)$ $ \Leftrightarrow x = 2$.