Cho hình chóp S . ABCD đáy là hình vuông cạnh bằng 3, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, M là trung điểm của AB , G là trọng tâm của tam giác SAB .

42/55

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh bằng 3, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, $M$ là trung điểm của $AB$, $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$. Tính khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuô (ảnh 1)$

Gọi $H$ là trung điểm của $CD$. Suy ra $MH \bot CD$ (1).

Hạ $MK \bot SH$ (3).

Vì $\Delta SAB$ đều, $M$ là trung điểm của $AB$ nên $SM \bot AB$.

Vì $\left. \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SM \bot AB\\SM \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SM \bot CD$(2).

Từ (1) và (2), suy ra $CD \bot \left( {SMH} \right)$$ \Rightarrow CD \bot MK$ (4).

Từ (3) và (4), suy ra $MK \bot \left( {SCD} \right)$.

Khi đó $d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = MK$.

Ta có $SM = \frac{{3\sqrt 3 }}{2},MH = 3$.

Xét $\Delta SMK$ vuông tại $M$, ta có $\frac{1}{{M{K^2}}} = \frac{1}{{S{M^2}}} + \frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{4}{{27}} + \frac{1}{9} = \frac{7}{{27}} \Rightarrow MK = \frac{{3\sqrt {21} }}{7}$.

Có $\frac{{d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{GS}}{{MS}} = \frac{2}{3}$$ \Rightarrow d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{3\sqrt {21} }}{7} \approx 1,31$.

Trả lời: 1,31.