Cho hình chóp S . ABCD có SA vuông góc ( ABCD ) , đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và ˆ B = 60 ∘ . Biết SA = 2a . Khoảng cách từ A đến SC bằng
28/38
Cho hình chóp \[S.ABCD\]có \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\], đáy \[ABCD\] là hình thoi cạnh bằng \[a\] và \[\widehat B = 60^\circ \]. Biết \[SA = 2a\]. Khoảng cách từ \[A\] đến \[SC\] bằng
\(\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{{4a\sqrt 3 }}{3}\).
\(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
\(\frac{{5a\sqrt 6 }}{2}\).
Đáp án đúng là: C
Kẻ \(AH \bot SC\,\,\left( {H \in SC} \right)\). Khi đó ta có \(d\left( {A,\,SC} \right) = AH\).
Tam giác \(ABC\) có \[\widehat B = 60^\circ \] và \(AB = BC = a\) nên tam giác \(ABC\) đều. Suy ra \(AC = a\).
Vì \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] nên \(SA \bot AC\).
Tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) có \(AH\) là đường cao nên ta có
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}\). Suy ra \(AH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
Vậy \(d\left( {A,\,SC} \right) = AH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).