Cho hình chóp S.ABCD có góc ABC= góc ADC= 90 độ cạnh bên

49/50

Cho hình chóp S.ABCD có ABC⏜=ADC⏜=90∘, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc tạo bởi SC và mặt phẳng đáy bằng 60∘, CD=a và tam giác ADC có diện tích bằng a232. Diện tích mặt cầu Smc ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là

Smc=16πa2

Smc=4πa2

Smc=32πa2

Smc=8πa2

Giải thích

Đáp án A

Tam giác ADC vuông tại D ⇒SΔADC=12.AD.CD=a232

⇒CD=a3⇒AC=AD2+CD2=a2+a32=2a.

Vì tứ giác ABCD có ABC⏜=ADC⏜=90∘⇒ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O với O là trung điểm của AC ⇒RABCD=AC2=a.

Và SA⊥ABCD⇒SC;ABCD⏜=SC;AC⏜=SCA⏜=60∘

Tam giác SAC vuông tại A ⇒tanSCA⏜=SAAC⇒SA=2a3.

Suy ra bán kính mặt cầu cần tính là:

R=R2ABCD+SA24=2a⇒Smc=16πa2.