Cho hình chóp S . ABCD có đáy là tứ giác ABCD . Gọi M , N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD , SAB . Lấy I là trung điểm đoạn BC .

24/31

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tứ giác $ABCD.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAD,SAB.$ Lấy $I$ là trung điểm đoạn $BC.$ Gọi $P,Q$ lần lượt là giao điểm của $SB,SD$ với mặt phẳng $\left( {IMN} \right).$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tứ giác \[MNPQ\] là hình bình hành.

Tứ giác \[MNPQ\] là hình vuông.

Tứ giác \[MNPQ\] là hình chữ nhật.

Tứ giác \[MNPQ\] là hình thang.

Giải thích

Chọn D

$Chọn D Ta có: $\cos \alpha $\[ = \cos \ (ảnh 1)$

Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AD,AB$.

Ta có: $\frac{{SM}}{{SE}} = \frac{{SN}}{{SF}} = \frac{2}{3}$ nên \[MN{\rm{//}}EF\] mà $EF$ là đường trung bình tam giác $ABD$ nên $EF{\rm{//}}BD$.

Do đó $MN{\rm{//}}BD$.

Hai mp $\left( {IMN} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ có điểm $I$ chung và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $MN$

và $BD$ nên giao tuyến qua điểm $I$ và song song với $MN,BD$. Giao tuyến này cắt $CD,AB,AD$

lần lượt tại $J,H,K$. Suy ra $P = SB \cap NH,Q = SD \cap MK$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {IMN} \right) \cap \left( {SBD} \right) = PQ\\\left( {IMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = IJ\\\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\end{array} \right.$ mà $IJ{\rm{//}}BD$ nên $PQ{\rm{//}}IJ{\rm{//}}BD$.

Mặt khác, $NP$ không song song với $MQ$ nên tứ giác $MNPQ$ là hình thang.