Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O, SA vuông góc với đáy, SA = a.

+ Ta có DB⊥ACDB⊥SA⇒DB⊥SAC⇒DB⊥SO tại O

 Hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (SAC) là SO

Do đó góc giữa SD và (SAC) là DSO^=30°

+ Đặt DO = x ⇒ DB = 2x; AO = BO = CO = x

Ta có: ΔSAB=ΔSADc.g.c nên SB = SD ⇒ Tam giác SBD cân tại S, mà có O là trung điểm BC ⇒ DSB^=2DSO^=60° 

Tam giác SBD đều ⇒ SO = 2x 32= x3

Theo Py-ta-go trong tam giác SOA vuông tại A, ta có: SO2=AO2+SA2

hay 3x2 =  x2+ a2⇔x2= a2/ 2

⇒x =a2

+ Gọi N là trung điểm của AB ⇒DN // BM

Suy ra d(D; (SBM)) = d(N;(SBM)) = 1/2 d(A; (SBM))

+ Kẻ AI ⊥BM tại I và AH ⊥ SI tại H. Từ đó ta chứng minh được AH ⊥ (SBM)

 ⇒ d(A; (SBM)) = AH ⇒ d(D; (SBM)) = 1/2 AH.

+ Tính AH

BM = BC2 + CM2=  a52

Trong (ABCD): SABM=SABCD−2SADM=a2−2.a24=a22

Mà SABM=12AI. BM  ⇒AI = 2a5

Áp dụng hệ thức về cạnh, đường cao trong tam giác vuông SAI có:

   1AH2=1AI2+1SA2⇒AH = 2a3

Vậy d(D; (SBM)) = 1/2. AH = a3

Đáp án A