Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên ( SAB ) là một tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ( ABCD ) và có diện tích bằng 27 √ 3/ 4 .

Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\). Do \(\Delta SAB\) đều và \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

Ta có \({S_{SAB}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{27\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow AB = 3\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow SH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 \sqrt 3 }}{2} = \frac{9}{2}\).

\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot A{B^2} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot {\left( {3\sqrt 3 } \right)^2} \cdot \frac{9}{2} = \frac{{81}}{2}\) (đvtt).

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \[SAB,\] qua \(G\) kẻ đường thẳng song song với \[AB,\] cắt \[SA\] và \[SB\] lần lượt tại \[M,{\rm{ }}N.\]

Qua \(N\) kẻ đường thẳng song song với \[BC\] cắt \[SC\] tại \(P\), qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \[AD\] cắt \[SD\] tại \[Q.\]

Suy ra \(\left( {MNPQ} \right)\) là mặt phẳng đi qua \(G\) và song song với \(\left( {ABCD} \right)\).

Khi đó \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SC}} = \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{{SG}}{{SH}} = \frac{2}{3}.\)

Ta có \(\frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} \cdot \frac{{SN}}{{SB}} \cdot \frac{{SP}}{{SC}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{8}{{27}}\)\( \Rightarrow {V_{S.MNP}} = \frac{8}{{27}} \cdot {V_{S.ABC}} = \frac{8}{{27}} \cdot \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{4}{{27}}{V_{S.ABCD}}\)

\(\frac{{{V_{S.MPQ}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} \cdot \frac{{SP}}{{SC}} \cdot \frac{{SQ}}{{SD}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{8}{{27}} \Rightarrow {V_{S.MPQ}} = \frac{8}{{27}} \cdot {V_{S.ACD}} = \frac{8}{{27}} \cdot \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{4}{{27}}{V_{S.ABCD}}\)

Vậy \({V_{S.MNPQ}} = {V_{S.MNP}} + {V_{S.MPQ}} = \frac{4}{{27}}{V_{S.ABCD}} + \frac{4}{{27}}{V_{S.ABCD}} = \frac{8}{{27}}{V_{S.ABCD}} = \frac{8}{{27}} \cdot \frac{{81}}{2} = 12\) (đvtt).

Đáp án cần nhập là: \(12\).