Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Biết góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 60 ∘

24/50

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng \(a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Biết góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(60^\circ \). Khoảng cách \(h\) từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng:

\(\frac{{a\sqrt {10} }}{5}\).

\(a\sqrt 2 \).

\(a\).

\(\frac{{a\sqrt {42} }}{7}\).

Giải thích

Vì \(CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow \left( {SCD} \right) \bot \left( {SAD} \right)\) theo giao tuyến \(SD\), dựng \(AH \bot SD \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right)\).

Vì \(AB\,{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\) nên \(d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH\).

Theo đề góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(60^\circ \) nên \(\widehat {SCA} = 60^\circ \). Ta có: \(\tan 60^\circ = \frac{{SA}}{{AC}} \Rightarrow SA = a\sqrt 6 \).

Và \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}\). Chọn D.