Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = √ 5 . Gọi M , N là trung điểm của SA và CD .

Gọi \(P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(SD,AB\).

Ta có \(NP\) đường trung bình của \(\Delta SCD\) nên \(NP//SC\)\( \Rightarrow SC//\left( {MPN} \right)\).

Khi đó \(d\left( {SC,MN} \right) = d\left( {SC,\left( {MPN} \right)} \right) = d\left( {S,\left( {MPN} \right)} \right)\).

Lại có \(\left( {MPN} \right) \equiv \left( {MPNQ} \right)\). Do đó \(d\left( {S,\left( {MPN} \right)} \right) = d\left( {S,\left( {MPNQ} \right)} \right)\).

Kẻ \(AH \bot MQ\) (1).

Ta có \(SA \bot QN,QN \bot AB \Rightarrow QN \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow QN \bot AH\) (2).

Từ (1) và (2), ta có \(AH \bot \left( {MPNQ} \right)\).

Do đó \(d\left( {A,\left( {MPNQ} \right)} \right) = AH\).

Ta có \(AM = \frac{{SA}}{2} = \frac{{\sqrt 5 }}{2};AQ = \frac{{AB}}{2} = 1\).

Xét \(\Delta MAQ\) vuông tại \(A\), ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{Q^2}}} = \frac{4}{5} + 1 = \frac{9}{5} \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).

Lại có \(\frac{{d\left( {S,\left( {MPNQ} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {MPNQ} \right)} \right)}} = \frac{{MS}}{{MA}} = 1 \Rightarrow d\left( {S,\left( {MPNQ} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {MPNQ} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \approx 0,75\).

Trả lời: 0,75.