Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a , ˆ BAD = 135 ∘ . Biết SA = 2a và tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 ∘ . Gọi I là trung điểm của SO , ( P ) là mặt phẳng đi q

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt \(SA,SC,SD\) lần lượt tại \(M,N,P\).

Do \(\left( P \right)//AC \Rightarrow MN//AC\) mà \(I\) là trung điểm của \(SO\) nên \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SC\).

Gọi \(K\) là trung điểm \(PD\).

Xét tam giác \(BPD\) có \(O,K\) lần lượt là trung điểm \(DB,DP\) nên \(OK//BP\).

Xét tam giác \(SOK\) có \(I\) là trung điểm \(SO\), mà \(IP//OK\) nên \(P\) là trung điểm\(SK \Rightarrow SP = PK = KD\).

Có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{V_{SBNP}}}}{{{V_{SBCD}}}} = \frac{{SB}}{{SB}} \cdot \frac{{SN}}{{SC}} \cdot \frac{{SP}}{{SD}} = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}}\\{\frac{{{V_{SBMP}}}}{{{V_{SBAD}}}} = \frac{{SB}}{{SB}} \cdot \frac{{SM}}{{SA}} \cdot \frac{{SP}}{{SD}} = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}}\end{array} \Rightarrow \frac{{{V_{SBNPM}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \frac{1}{6}} \right.\) .

Chiều cao của hình chóp \(h = SA \cdot \cos \left( {SA,\left( {ABCD} \right)} \right) = 2a \cdot \sin 60^\circ  = a\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow {V_{SABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a \cdot a \cdot \sin 135^\circ  \cdot a\sqrt 3  = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\)

\( \Rightarrow {V_{SBNPM}} = \frac{{{V_{SABCD}}}}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{36}} \Rightarrow \frac{n}{{{m^2}}} = \frac{{36}}{{{6^2}}} = 1\).

Đáp án cần nhập là: \(1\).