Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi, có SA vuông góc ( ABCD ) . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SB và SD . Chứng minh rằng HK ⊥ ( SAC ) .

Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH.\)

Ta có \(S{A^2} = SH \cdot SB \Rightarrow \frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}}\left( 1 \right).\)

Xét \(\Delta SAD\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AK.\)

Ta có \(S{A^2} = SK \cdot SD \Rightarrow \frac{{SK}}{{SD}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{D^2}}}\left( 2 \right).\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}S{B^2} = S{A^2} + A{B^2}\\S{D^2} = S{A^2} + A{D^2}\\AB = AD\end{array} \right. \Rightarrow SB = SD\left( 3 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\)suy ra \(\frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SK}}{{SD}} \Rightarrow HK{\rm{//}}BD.\)

Lại có \(BD \bot AC\) (tính chất hình thoi).

Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right),BD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BD \bot SA.\)

Suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) mà \(HK{\rm{//}}BD\) nên \(HK \bot \left( {SAC} \right).\)