Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang đáy lớn là AB . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và SB . a) Chứng minh rằng: MN / / CD .

37/38

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang đáy lớn là $AB$. Gọi $M$, $N$lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SB$.

a) Chứng minh rằng: $MN{\rm{//}}CD$.

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $\left( {AND} \right)$ với mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$.

c) Gọi $P$ là giao điểm giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( {AND} \right)$. Kéo dài $AN$ và $DP$ cắt nhau tại $I$. Chứng minh rằng \[SI{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD\]. Tứ giác $SIBA$ là hình gì?

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho hình chóp $S.ABCD$ (ảnh 1)$

a) Vì $M,N$ là các trung điểm của $SA$, $SB$ nên $MN$ là đường trung bình trong tam giác $SAB$. Do đó $MN{\rm{//}}AB$, mà $AB{\rm{//}}CD$ nên $MN{\rm{//}}CD$. (đpcm)

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, $J$ là giao điểm của $SO$ và $ND$. Ta có:

Vì $J \in SO$ mà $SO$ nằm trên $\left( {SAC} \right)$ nên $J \in \left( {SAC} \right)$.

Mà $J \in ND$, $ND$ nằm trên $\left( {AND} \right)$ nên $J \in \left( {AND} \right)$.

Từ đó suy ra được $J$ là điểm chung giữa mặt phẳng $\left( {AND} \right)$ và mặt phẳng$\left( {SAC} \right)$.

Mặt khác $A \in \left( {SAC} \right)$, $A \in \left( {AND} \right)$, nên $A$ là điểm chung giữa mặt phẳng $\left( {AND} \right)$ và mặt phẳng$\left( {SAC} \right)$.

$ \Rightarrow AJ$ là giao tuyến giữa mặt phẳng $\left( {AND} \right)$ và mặt phẳng$\left( {SAC} \right)$.

c) Kéo dài $AJ$ cắt $SC$ tại $P$. Khi đó $P$ là giao điểm giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( {AND} \right)$.

Ta có $I \in AN$ mà $AN$ nằm trên $\left( {SAB} \right)$ nên $I \in \left( {SAB} \right)$.

$I \in DP$ mà $DP$ nằm trên $\left( {SCD} \right)$ nên $I \in \left( {SCD} \right)$.

$ \Rightarrow I$ là điểm chung giữa 2 mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$.

$ \Rightarrow SI$ là giao tuyến giữa 2 mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$.

Xét 3 mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$, $\left( {SCD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ cắt nhau đôi một theo 3 giao tuyến $SI,AB$ và $DC$ nên theo định lí về ba đường giao tuyến, ta có $SI{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD$ hoặc $SI,AB,CD$ đồng quy.

Mà $AB{\rm{//}}CD$ nên $SI{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD$.

Lại có: $SI{\rm{//}}AB$ nên theo định lí Talet, ta có:$\frac{{SN}}{{NB}} = \frac{{IN}}{{NA}} = \frac{{SI}}{{AB}}$.

Do $N$ là trung điểm $SB$ nên $SN = NB$ hay $\frac{{SN}}{{NB}} = 1 \Rightarrow \frac{{SN}}{{NB}} = \frac{{IN}}{{NA}} = \frac{{SI}}{{AB}} = 1$

$ \Rightarrow SI = AB$.

Tứ giác $SIBA$ có $\left\{ \begin{array}{l}SI{\rm{//}}AB\\SI = AB\end{array} \right. \Rightarrow $ tứ giác $SIBA$ là hình bình hành.