Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, cạnh AB = 2 AD = a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ( ABCD ) . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBD

Gọi \(H\) là trung điểm của \[AB.\]

Từ giả thiết, suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

Từ \(H\) kẻ \(HO \bot BD\) tại \(O\), kẻ \(HI \bot SO\) tại I.

Suy ra \[HI \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {H,\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = HI.\]

Ta có \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2},SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Lại có  nên \(\frac{{OH}}{{AD}} = \frac{{BH}}{{BD}} \Rightarrow OH = \frac{{AD \cdot BH}}{{BD}} = \frac{{\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{{10}}.\)

Khi đó \(\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{O^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{{10}}} \right)}^2}}}\). Suy ra \(HI = \frac{{a\sqrt 3 }}{8}.\)

Lại có \(d\left( {A,\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = 2 \cdot HI = 2 \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{8} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\) Chọn A.