Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành, AC và BD cắt nhau tại O . Gọi I là trung điểm của SO . Mặt phẳng ( ICD ) cắt SA , SB lần lượt tại M , N .

a) Trong mặt phẳng \((SAC)\), gọi \(M\) là giao điểm của \(CI\) và \(SA,\,\,CI \subset (ICD)\) nên \(M \in (ICD)\).

Trong mặt phẳng \((SBD)\), gọi \(N\) là giao điểm của \(DI\) và \(SB,\,\,DI \subset (ICD)\) nên \(N \in (ICD)\).

Ta có \((KCD) \cap (SAB) = MN\).

Mà \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(MN\,{\rm{//}}\,CD\).

Theo định lí Menelaus, trong tam giác \(SOA\), ta có: \[\frac{{SM}}{{MA}}\,.\,\frac{{AC}}{{CO}}\,.\,\frac{{OI}}{{IS}} = 1\].

Hay \[\frac{{SM}}{{MA}}\,.\,2\,.\,1 = 1\] suy ra \[\frac{{SM}}{{MA}} = \frac{1}{2}\] nên \[\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{3}\].

Ta có \(MN\,{\rm{//}}\,AB\) nên \[\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{MN}}{{AB}}\].

Vậy \(MN = \frac{1}{3}a\).

b) \(K \in CN;\,\,CN \subset (SBC)\) nên \(K \in (SBC)\).

\(K \in DM;\,\,DM \subset (SAD)\) nên \(K \in (SAD)\).

Ta có \(S\) và \(K\) là hai điểm chung của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\) nên \(SK\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\).

Mà \(AD\,{\rm{//}}\,BC\) nên \[SK\,{\rm{//}}\,BC\,{\rm{//}}\,AD\].