Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính

Gọi I, N là trung điểm của AD, AB. Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO, vì tam giác ABI đều nên H thuộc NI.

Kẻ HK vuông góc CD, dựng hình bình hành AECD. Gọi F là giao điểm của BO và AE.

Ta có: AF// CD, nên d(SA,CD)=d(CD,(SAF))=d(O,(SAF)).

Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD, nên tam giác BIC và CID là các tam giác đều, do đó ta có:

AC=(4a)2−(2a)2=2a3CO=12CD=aAO=AC2+CO2=12a2+a2=a13BO=BC2+CO2−2BC.CO.cos1200=4a2+a2+2a2=a7SΔABO=(2a+4a).a32−12.2a.a32−12.4a.a32=3a232.

Suy ra

 AH=2a.a7.a134.3a32=a2739.SH=SA2−AH2=4a2−273a281=a519.

Diện tích SΔAFO=2SΔABO=3a23.

Thể tích của khối chóp S. AFO là: VS.AFO=13SH.SAFO=a31539.

Diện tích tam giác SAF:

SA=2a,  AF=3a⇒SB2=SO2+SF22−FO24⇒SF=3a2⇒SΔSAF=a21194.

Vậy d(SA,CD)=d(CD,(SAF))=d(O,(SAF))=3VO.SAFSΔSAF=3a31539a21194=2a7.