Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a √ 6 , SC = a √ 15 . Hai mặt phẳng ( SA B ) và ( SAD ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) .

Hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)

nên \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) của hình vuông \(ABCD\).

Ta có \(BO \bot \left( {SAC} \right)\) nên \(SO\) là hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {SAC} \right)\).

Do đó góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) là \(\widehat {BSO}\)

Hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\sqrt 6 \) nên \(AC = 2a\sqrt 3 ,BO = AO = a\sqrt 3 \).

Ta có \[SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {a\sqrt {15} } \right)}^2} - {{\left( {2a\sqrt 3 } \right)}^2}}  = a\sqrt 3 \];

\(SO = \sqrt {S{A^2} + A{O^2}}  = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}  = a\sqrt 6 \).

Do đó \({\rm{cot}}\widehat {BSO} = \frac{{SO}}{{BO}} \Rightarrow {\rm{cot}}\alpha  = \frac{{a\sqrt 6 }}{{a\sqrt 3 }} = \sqrt 2  \Rightarrow {\rm{co}}{{\rm{t}}^2}\alpha  = 2\).

Đáp án cần nhập là: \(2\).