Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA ⊥ ( ABCD ) . Biết SA = a .

15/22

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\] và \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\]. Biết \[SA = a\].

Góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ bằng ${90^0}$.

ĐúngSai

Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng ${45^0}$.

ĐúngSai

Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ bằng ${60^0}$.

ĐúngSai

Nếu gọi $\alpha $là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ thì ta có \[\alpha \in \left( {{{60}^0};{{160}^0}} \right)\].

ĐúngSai

Giải thích

$Ta có \[BD \bot \left( {SAC (ảnh 1)$

a) Đúng

Do \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] nên \[SA \bot BC\]. Vậy góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ bằng ${90^0}$.

b) Đúng

Do \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] tại điểm $A$ nên hình chiếu của $SD$ lên $\left( {ABCD} \right)$ là $AD$. Suy ra góc giữa $SD$ và $\left( {ABCD} \right)$ là góc giữa $SD$ và $AD$ và bằng góc $\widehat {SDA}$. Tam giác $SAD$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat {SDA} = {45^0}$.

c) Sai

Gọi $O$ là tâm của hình vuông \[ABCD\]. Khi đó ta có \[BO \bot AC\].

Do \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] nên \[SA \bot BO\].

Vậy có \[\left\{ \begin{array}{l}BO \bot AC\\BO \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BO \bot \left( {SAC} \right)\] tại \[O\] nên hình chiếu của $SB$ lên $\left( {SAC} \right)$ là $SO$.

Suy ra góc giữa $SB$ và $\left( {SAC} \right)$ là góc giữa $SB$ và $SO$ và bằng góc $\widehat {BSO}$.

Tam giác $SAD$ vuông ở $A$ $ \Rightarrow SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = a\sqrt 2 $.

Tam giác $SAB$ vuông ở $A$ $ \Rightarrow SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 2 $.

Tam giác $ABD$ vuông ở $A$ $ \Rightarrow BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 2 $.

Nên suy ra tam giác $SB{\rm{D}}$ là tam giác đều, vì vậy $SO$ là đường cao đồng thời là đường phân giác nên $\widehat {BSO} = {30^0}$.

d) Sai

Ta có \[BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC\]

Kẻ \[BI \bot SC\], \[I \in SC\]

Suy ra \[DI \bot SC\].

Vậy có

\[\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SC\\BI \subset \left( {SBC} \right),BI \bot SC\\DI \subset \left( {SDC} \right),DI \bot SC\end{array} \right.\]

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ bằng góc giữa hai đường thẳng \[BI\] và \[DI\].

Tam giác $SDC$ vuông ở $D$, \[DI\] là đường cao $ \Rightarrow \frac{1}{{D{I^2}}} = \frac{1}{{D{S^2}}} + \frac{1}{{D{C^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow DI = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.$

Tương tự cũng tính được $BI = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.

Tam giác $IBD$ cân ở $I$, \[O\] là trung điểm $B{\rm{D}}$

\[ \Rightarrow IO \bot BD \Rightarrow \sin \widehat {OID} = \frac{{OD}}{{ID}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {OID} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {BI{\rm{D}}} = 120^\circ \Rightarrow \left( {IB,I{\rm{D}}} \right) = {60^0}\].