Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA = a và SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm SB , N là điểm thuộc cạnh SD sao cho SN = 2 ND

16/22

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$,$SA = a$ và $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $M$là trung điểm $SB$,$N$là điểm thuộc cạnh $SD$ sao cho $SN = 2ND$.

Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng ${a^3}$.

ĐúngSai

Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng thể tích khối chóp $S.BCD$.

ĐúngSai

Thể tích khối chóp $S.AMC$ bằng $\frac{1}{3}$thể tích khối chóp $S.ABCD$.

ĐúngSai

Thể tích $V$của khối tứ diện $ACMN$ bằng $\frac{{{a^3}}}{{12}}$.

ĐúngSai

Giải thích

$Ta có: \(\frac{{{V_{S.AMC}} (ảnh 1)$

a. Sai.

Ta có: ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{{{a^3}}}{3}$.

b. Đúng.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên ${S_{\Delta ABC}} = {S_{\Delta BCD}} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {V_{S.BCD}}$.

c. Sai.

Ta có: $\frac{{{V_{S.AMC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{S.AMC}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}}$.

d. Đúng.

Ta có: ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{{{a^3}}}{3}$.

Vì $\frac{{ND}}{{SD}} = \frac{1}{3}\,\,\, \Rightarrow \,\,\,d\left( {N,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{3}SA = \frac{a}{3}$.

Do $\frac{{MB}}{{SB}} = \frac{1}{2}\,\,\, \Rightarrow \,\,\,d\left( {M,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}$.

Mà ${V_{ACMN}} = {V_{S.ABCD}} - {V_{S.AMN}} - {V_{S.CMN}} - {V_{M.ABC}} - {V_{N.ADC}}$

Mặt khác ${V_{S.ABD}} = {V_{S.BCD}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}}}{6}$.

$\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$ \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \frac{1}{3}{V_{S.ABD}} = \frac{1}{3}.\frac{{{a^3}}}{6} = \frac{{{a^3}}}{{18}}$.

$\frac{{{V_{S.CMN}}}}{{{V_{S.BCD}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$ \Rightarrow {V_{S.CMN}} = \frac{1}{3}{V_{S.BCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{{a^3}}}{6} = \frac{{{a^3}}}{{18}}$.

${V_{M.ABC}} = \frac{1}{3}d\left( {M,\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^3}}}{{12}}$.

${V_{N.ADC}} = \frac{1}{3}d\left( {N,\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{ADC}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{3}.\frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^3}}}{{18}}$.

Vậy ${V_{ACMN}} = \frac{{{a^3}}}{3} - \frac{{{a^3}}}{{18}} - \frac{{{a^3}}}{{18}} - \frac{{{a^3}}}{{12}} - \frac{{{a^3}}}{{18}} = \frac{{{a^3}}}{{12}}$.