Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên ( SAB ) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết góc tạo bởi đường thẳng SC với mặt phẳng đáy, mặt phẳng ( SAB )

13/49

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $\left( {SAB} \right)$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết góc tạo bởi đường thẳng $SC$ với mặt phẳng đáy, mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ lần lượt là $45^\circ $ và $30^\circ $. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.

$\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$.

$\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}$.

$\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}$.

$\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}$.

Giải thích

$Gọi $H$ là hình chiếu của \(S (ảnh 1)$

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên đường thẳng $AB$.

Ta có $\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB}\\{SH \bot AB}\end{array}} \right\} \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$.

Góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$ là góc $\widehat {SCH} = 45^\circ \Rightarrow SH = SC \cdot {\rm{sin}}45^\circ $.

Mặt khác \[\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{(SAB) \bot (ABCD)}\\{(SAB) \cap (ABCD) = AB}\\{CB \bot AB}\end{array}} \right\} \Rightarrow CB \bot (SAB)\].

Góc giữa $SC$ và $\left( {SAB} \right)$ là góc $\widehat {CSB} = 30^\circ \Rightarrow SC = \frac{{BC}}{{{\rm{sin}}30^\circ }} = 2a$.

Do đó $SH = SC \cdot {\rm{sin}}45^\circ = a\sqrt 2 $.

Diện tích đáy ${S_{ABCD}} = {a^2}$.

Thể tích khối chóp ${V_{S.ABCD}} = \frac{{SH \cdot {S_{ABC{\rm{D}}}}}}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}$. Chọn D.