Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a √ 2 . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạ

43/50

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh $a,$ cạnh bên \[SA\] vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA = a\sqrt 2 .$ Gọi \[M,\,\,N\] lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên các cạnh \[SB,\,\,SD.\] Góc giữa mặt phẳng \[\left( {AMN} \right)\] và đường thẳng \[SB\] bằng:

$45^\circ .$

$90^\circ .$

$120^\circ .$

$60^\circ .$

Giải thích

$Ta có \(BC \bot \left( {SA (ảnh 1)$

Ta có $BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM$

$ \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AM \bot SC.$

Tương tự ta cũng có $AN \bot SC \Rightarrow \left( {AMN} \right) \bot SC.$

Gọi $\varphi $ là góc giữa đường thẳng SB và $\left( {AMN} \right)$

Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho: $D\left( {1\,;\,\,0\,;\,\,0} \right)$,

$S\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,\sqrt 2 } \right),\,\,C\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,0} \right),$$A\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\,\,$$B\left( {0\,;\,\,1\,;\,\,0} \right),\,\,$$\overrightarrow {SC} = \left( {1\,;\,\,1\,;\,\, - \sqrt 2 } \right),\,\,\overrightarrow {SB} = \left( {0\,;\,\,1\,;\,\, - \sqrt 2 } \right).$

Do $\left( {AMN} \right) \bot SC$ nên $\left( {AMN} \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {SC} .$

Do đó $\sin \varphi = \frac{{\left| 3 \right|}}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \varphi = 60^\circ {\rm{. }}$Chọn D.