Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a √ 3 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng:

24/49

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên \[SA\] vuông góc với đáy và $SA = a\sqrt 3 .$ Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng:

$\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}.$

$a\sqrt 3 .$

$\frac{a}{2}.$

$\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

Giải thích

$Xét tam giác vuông \[SA (ảnh 1)$

Kẻ $AH \bot SB\,\,(*)$. Ta có $BC \bot AB$ (do ABCD là hình vuông); $BC \bot SA$(do $SA \bot \left( {ABCD} \right)$.

Suy ra $BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\,\,(**)$.

Từ $(*),(**)$ suy ra $AH \bot (SBC).$

Suy ra $d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH$.

Xét tam giác vuông \[SAB,\] có $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$ Chọn D.