Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ˆ ADC = 60 ∘ , SA ⊥ ( ABCD ) và SA = √ 3 a , G là trọng tâm tam giác SAC . Khoảng cách từ G đến ( SCD ) bằng: a √ m n

Đáp số : 30

Gọi \(M,I\)lần lượt là trung điểm \(CD,\,SC\).

Theo giả thiết ta có tam giác \(ACD\) đều. Suy ra \(AM = \frac{{AD\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\).

Kẻ \(AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) thì \(AH \bot \left( {SCD} \right)\).

Ta có \(GI = \frac{1}{3}AI\) nên \(d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{3}AH\)

\( = \frac{1}{3}.\frac{{AM.SA}}{{\sqrt {A{M^2} + S{A^2}} }} = \frac{1}{3}.\frac{{\frac{{\sqrt 3 a}}{2}.\sqrt 3 a}}{{\sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + 3{a^2}} }} = \frac{{\sqrt {15} a}}{{15}}\)

Vậy \(d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{\sqrt {15} a}}{{15}}\).