Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại hai đỉnh A và B , đồng thời AB = AD = 2 BC = 2 cm. Biết rằng tam giác SAB cân tại S , tam giác SCD vuông tại C và số

18/22

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại hai đỉnh $A$ và $B$, đồng thời $AB = AD = 2BC = 2$cm. Biết rằng tam giác $SAB$ cân tại $S$, tam giác \[SCD\] vuông tại $C$ và số đo góc nhị diện \[\left[ {S,{\rm{ }}AB,{\rm{ }}D} \right]\] bằng \[135^\circ \]. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$ (đơn vị cm³).

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 1

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$.

$Đáp án: 1 Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. (ảnh 1)$

Do tam giác $SAB$ cân tại $S$ $ \Rightarrow SM \bot AB$

Do $MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ nên $MN//AD$ mà $AD \bot AB$$ \Rightarrow MN \bot AB$

Khi đó \[\left[ {S,{\rm{ }}AB,{\rm{ }}D} \right] = \widehat {SMN} = 135^\circ \].

Kẻ $SH \bot \left( {ABCD} \right),H \in \left( {ABCD} \right)$$ \Rightarrow SH \bot AB$ mà $SM \bot AB$$ \Rightarrow AB \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow AB \bot HM$

$ \Rightarrow H,M,N$ thẳng hàng.

Vì \[\widehat {SMN} = 135^\circ \Rightarrow \widehat {SMH} = 45^\circ \Rightarrow HM = SH\].

Tam giác \[SCD\] vuông tại $C$ $ \Rightarrow CD \bot SC$ mà $CD \bot SH$ (do $SH \bot \left( {ABCD} \right))$$ \Rightarrow CD \bot \left( {SHC} \right) \Rightarrow CD \bot HC$.

Xét tam giác $HCN$ vuông tại $C$ ta có: $\sin \widehat {CHN} = \frac{{CN}}{{HN}}$.

Gọi $K$ là trung điểm $AD$$ \Rightarrow BC = AK = \frac{{AD}}{2} = \frac{2}{2} = 1$ mà $BC//AK$ nên $ABCK$ là hình bình hành $ \Rightarrow AB//CK,AB = CK \Rightarrow CK \bot AD,CK = 2$.

Xét tam giác $CDK$ vuông tại $K$ ta có:

$CD = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 $$ \Rightarrow \sin \widehat {DCK} = \frac{{KD}}{{CD}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}$

Mặt khác: $\widehat {CHN} + \widehat {HNC} = \widehat {DCK} + \widehat {KDC} = 90^\circ $ mà $\widehat {HNC} = \widehat {KDC}$(2 góc đồng vị) \[ \Rightarrow \widehat {CHN} = \widehat {DCK}\]

\[ \Rightarrow \sin \widehat {CHN} = \sin \widehat {DCK} \Rightarrow \frac{{CN}}{{HN}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow HN = \sqrt 5 CN = \sqrt 5 .\frac{{CD}}{2} = \sqrt 5 .\frac{{\sqrt 5 }}{2} = \frac{5}{2}\].

Do $MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ nên $MN = \frac{{BC + AD}}{2} = \frac{{1 + 2}}{2} = \frac{3}{2}$

$ \Rightarrow HM = HN - MN = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} = 1$ mà $HM = SH \Rightarrow SH = 1$.

Thể tích của khối chóp $S.ABCD$: ${V_{S.ABCD\;}} = \frac{1}{3}.SH.\frac{{BC + AD}}{2}.AB = \frac{1}{3}.1.\frac{{1 + 2}}{2}.2 = 1$ cm³.