Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SA ⊥ ( ABCD ) , AD = 2a , AB = BC = a . Chứng minh rằng DC vuông góc ( SAC ) .

38/39

(1,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, $AD = 2a,\,AB = BC = a$.Chứng minh rằng $DC \bot \left( {SAC} \right)$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy \(AB (ảnh 1)$

Gọi $I$ là trung điểm của $AD$. Suy ra $AI = ID = \frac{1}{2}AD = a$.

Ta có $AI = BC\,\,\left( { = a} \right)$ và $AI\,{\rm{//}}\,BC\,\,\left( {{\rm{do}}\,AD\,{\rm{//}}\,BC} \right)$ nên tứ giác $ABCI$ là hình bình hành. Lại có $AI = AB = a$ nên $ABCI$ là hình thoi, mà $\widehat {ABC} = 90^\circ $, do đó $ABCI$ là hình vuông. Khi đó, $\widehat {AIC} = 90^\circ $, suy ra $\widehat {CID} = 90^\circ $.

Tam giác $ICD$ có $ID = IC = a$ và $\widehat {CID} = 90^\circ $ nên tam giác $ICD$ vuông cân tại $I$.

Suy ra $\widehat {ICD} = 45^\circ $.

Lại có $\widehat {ACI} = \frac{1}{2}\widehat {BCI} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ $ (vì $ABCI$ là hình vuông).

Nên ta có $\widehat {ACD} = \widehat {ACI} + \widehat {ICD} = 90^\circ $. Suy ra $AC \bot CD$.

Mà \[CD \bot SA\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\], từ đó suy ra $DC \bot \left( {SAC} \right)$.