Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , cạnh bên SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a √ 2 , AD = 2 AB = 2 BC = 2a . Tính côsin của góc nhị diện [ A , SD , C ]

9/11

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, cạnh bên $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SA = a\sqrt 2 ,AD = 2AB = 2BC = 2a$. Tính côsin của góc nhị diện $\left[ {A,SD,C} \right]$ (lấy kết quả đến hàng phần chục).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, cạnh bên $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và \(SA = a\sqrt 2 ,AD = 2AB = 2 (ảnh 1)$

Gọi $M$ là trung điểm của $AD$. Khi đó $ABCM$ là hình vuông.

Hạ $MH \bot SD$.

Ta có $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CM$ mà $CM \bot AD$ nên $CM \bot \left( {SAD} \right)$. Suy ra $CM \bot SD$.

Lại có $MH \bot SD$ nên $SD \bot \left( {MHC} \right)$. Suy ra $CH \bot SD$.

Do đó $\left[ {A,SD,C} \right] = \left[ {M,SD,C} \right] = \widehat {MHC}$.

Xét $\Delta SAD$ vuông tại $A$, có $\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2a}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Suy ra $\sin \widehat {SDA} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Xét $\Delta MHD$ vuông tại $H$, có $\sin \widehat {SDA} = \frac{{MH}}{{MD}} \Rightarrow MH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Vì $CM \bot \left( {SAD} \right)$ nên $CM \bot MH$. Do đó $\Delta CMH$ vuông tại $M$.

Có $CH = \sqrt {C{M^2} + M{H^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{9}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.

$\cos \widehat {MHC} = \frac{{MH}}{{CH}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}:\frac{{2a\sqrt 3 }}{3} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Trả lời: 0,5.