Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , AD = a √ 3 , SA vuông góc ( ABCD ) , SA = a √ 3 . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( D )

38/38

(1,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$là hình chữ nhật, $AB = a$, $AD = a\sqrt 3 $, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, $SA = a\sqrt 3 $. Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có (ảnh 1)$

Gọi $O$ là tâm của hình chữ nhật $ABCD$.

Ta có $AC \cap \left( {SBD} \right) = O$ nên $\frac{{d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{CO}}{{AO}} = 1$ (vì $O$ là trung điểm $AC$).

Suy ra $d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)$.

Gọi $H$, $I$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $BD$, $SH$, ta có

$\left\{ \begin{array}{l}AI \bot SH\\AI \bot BD\,\,\,\,\left( {{\rm{do }}BD \bot AH,\,BD \bot SA \Rightarrow BD \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BD \bot AI} \right)\end{array} \right.$

Suy ra $AI \bot \left( {SBD} \right)$ (vì $SH \cap BD = H$ và $SH,BD \subset \left( {SBD} \right)$).

Do đó, $d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AI$.

Xét tam giác $ABD$ vuông tại $A$ với $AH$ là đường cao, ta có

$AH = \frac{{AB \cdot AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \frac{{a \cdot a\sqrt 3 }}{{\sqrt {3{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Xét tam giác $SAH$ vuông tại $A$ với $AI$ là đường cao, ta có

$AI = \frac{{AH \cdot AS}}{{\sqrt {A{H^2} + A{S^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot a\sqrt 3 }}{{\sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + 3{a^2}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}$.

Vậy khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ bằng $\frac{{a\sqrt {15} }}{5}$.