Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , AD = 2a √ 2 , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trọng tâm của tam giác BCD .

Gọi \(H\) là trọng tâm của tam giác \[BCD\].Gọi \(O = AC \cap BD\).

Theo giả thiết ta có \[SH \bot \left( {ABCD} \right)\].

Ta có \(AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a\sqrt 2 } \right)}^2}} = 3a\).

Khi đó, \(CH = \frac{2}{3}CO = \frac{1}{3}AC = a \Rightarrow AH = AC - HC = 2{\rm{a}}\).

Ta có \[AH\] là hình chiếu vuông góc của \[SA\] trên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] nên góc giữa \[SA\] và \[\left( {ABCD} \right)\] là \(\widehat {SAH}\)\( \Rightarrow \widehat {SAH} = 45^\circ \)\( \Rightarrow SH = AH = 2a\).

Kẻ đường thẳng \(a\) đi qua \(D\) và song song với \(AC\)\( \Rightarrow AC{\rm{//}}\left( {SD,\,a} \right)\).

\[ \Rightarrow {\rm{d}}\left( {{\rm{AC, SD}}} \right) = {\rm{d}}\left( {{\rm{AC,}}\,\left( {{\rm{SD,a}}} \right)} \right) = {\rm{d}}\left( {{\rm{H,}}\left( {{\rm{SD,a}}} \right)} \right)\].

Trong \[\left( {ABCD} \right)\] kẻ \(HK\) vuông góc với \(a\), trong \[\left( {SHK} \right)\] kẻ \(HI \bot SK\).

Suy ra\(a \bot HI \Rightarrow HI \bot \left( {SD,\,a} \right) \Rightarrow d\left( {H,\,\left( {SD,a} \right)} \right) = HI\).

Gọi \({\rm{E}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{AB}} \cap {\rm{DK}}\). Trong \(\Delta AED\) kẻ \(AP \bot ED\), khi đó ta có:

\(\frac{1}{{A{P^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{9}{{8{a^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{9}{{8{a^2}}}\)

Trong \(\Delta SHK\), ta có: \(\frac{1}{{{\rm{H}}{{\rm{I}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ = }}\frac{1}{{{\rm{H}}{{\rm{K}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{1}{{{\rm{S}}{{\rm{H}}^{\rm{2}}}}} = \frac{9}{{8{{\rm{a}}^2}}} + \frac{1}{{4{{\rm{a}}^2}}} = \frac{{11}}{{8{{\rm{a}}^2}}} \Rightarrow {\rm{HI}} = \frac{{2{\rm{a}}\sqrt {22} }}{{11}}\)

\( \Rightarrow {\rm{d}}\left( {AC,SD} \right) = \frac{{a\sqrt {22} }}{{11}}.\)