Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Lấy điểm I ∈ BD sao cho B I = 2 ID . Gọi ( α ) là mặt phẳng đi qua I và song song với SA , CD , ( α ) cắt SC , SD

a) Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\] (1)

Lại có \[S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]   (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

b) Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {ABCD} \right)\\\left( \alpha  \right)\,{\rm{//}}\,CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {ABCD} \right) = d\) qua \(I\) và \[d\,{\rm{//}}\,CD\].

Gọi \(P,\,\,Q\) lần lượt là giao điểm của \(d\) với \(AD,\,\,BC\).

Ta có:\[\left\{ \begin{array}{l}P \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {SAD} \right)\\\left( \alpha  \right)\,{\rm{//}}\,SA\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {SAD} \right) = {d_1}\] qua \(P\) và \({d_1}\,{\rm{//}}\,SA\).

Khi đó \(N\) là giao điểm của \({d_1}\) với \(SD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {SCD} \right)\\\left( \alpha  \right)\,{\rm{//}}\,CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha  \right) \cap \left( {SCD} \right) = {d_2}\) qua \(N\) và \({d_2}\,{\rm{//}}\,CD\).

Khi đó \(M\) là giao điểm của \({d_2}\) với \(SC\).

Suy ra mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) tạo với hình chóp \(S.ABCD\) một thiết diện là hình thang \(MNPQ\)

Ta có \(MN\,{\rm{//}}\,CD \Rightarrow \frac{{MN}}{{CD}} = \frac{{SN}}{{SD}} = \frac{{SM}}{{SC}}\)

Mà \(\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{{AP}}{{AD}} = \frac{{BI}}{{BD}} = \frac{2}{3}\)

Suy ra \[\frac{{MN}}{{CD}} = \frac{2}{3}.\]