Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Ta có: SB thuộc mặt phẳng (SBD); N ∈ SD ⊂ (SBD), mà O là tâm hình bình hành nên O ∈ BD ⊂ (SBD).

Suy ra ON ⊂ (SBD).

Xét △SDB có N, O lần lượt là trung điểm của SD, DB

⇒ Theo tính chất đường trung bình, ta có: ON ∥ SB.

Vậy ON không chéo với SB.

b) Đúng. Theo câu a), ON ∥ SB.

Chứng minh tương tự với △SAC ⇒ OM ∥ SC.

Ta có: ON ∥ SB; OM ∥ SC (1)

OM, ON ⊂ (OMN), OM ∩ ON = O (2).

SB, SC ⊂ (SBC), SB ∩ SC = S. (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ (OMN) ∥ (SBC).

c) Sai. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và ON.

Xét △ABC có O là trung điểm của AC (đường chéo hình bình hành), P là trung điểm của AB, theo tính chất đường trung bình ⇒ OP ∥ BC.

Xét △SBD có ON ∥ SB (câu a)

Mà Q là trung điểm của ON ⇒ Q ∈ ON ⊂ (SBD), O ∈ BD ⊂ (SBD) ⇒ OQ ∥ SB.

Ta có: OP, OQ ⊂ (OPQ), OP ∩ OQ = O (4).

OP ∥ BC,OQ ∥ SB (5).

BC , SB ⊂ (SBC), BC ∩ SB = B (6).

Từ (4), (5), (6) ⇒ (OPQ) ∥ (SBC), mà PQ ⊂ (OPQ) suy ra PQ ∥ (SBC). Vậy PQ không cắt (SBC).

d) Đúng. Xét tam giác ACD có O, R lần lượt là trung điểm của AC và AD, theo tính chất đường trung bình trong tam giác ⇒ OR ∥ CD.

Ta có: OM ∥ SC, OR ∥ CD; OM, OR ⊂ (MOR), OM ∩ OR = O; SC, SD ⊂ (SCD), SC ∩ SD = S.

⇒ (MOR) ∥ (SCD).