Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M là trung điểm của SD . a) Chứng minh rằng OM song song với SB .

32/33

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm của $SD$.

a) Chứng minh rằng $OM$ song song với $SB$.

b) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Xác định giao điểm $K$ của $SA$ và mặt phẳng $\left( {MBG} \right)$.

c) Chứng minh $KG{\rm{//}}SC$ và tính tỉ số $\frac{{JM}}{{JK}}$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải:

$Cho hình chóp $S.ABCD$ (ảnh 1)$

a) Vì $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm $BD$.

Xét tam giác $SBD$ có $O$ là trung điểm $BD$, $M$ là trung điểm $SD$ nên $OM$ là đường trung bình của tam giác $SBD \Rightarrow OM{\rm{//}}SB$.

b) Kéo dài $BG$ cắt $CD$, $AD$lần lượt tại $I$, $J$. Kéo dài $JM$ cắt $SA$ tại $K$.

Khi đó $K \in \left( {MBG} \right)$, do đó $K$ là giao điểm của $SA$ và $\left( {MBG} \right)$.

c) Vì $I$ là giao điểm của $BG$ và $CD$ nên $I$ là trung điểm của $CD$.

Ta chứng minh được $I$ là trung điểm của $JB$.

Tam giác $ABJ$ có $DI{\rm{//}}AB$, $I$ là trung điểm $JB$ nên $DI$ là đường trung bình tam giác $ABJ$.

$ \Rightarrow D$ là trung điểm \[JA\].

Từ $D$ kẻ $DN{\rm{//}}AK\left( {N \in JK} \right)$. Khi đó $DN$ là đường trung bình của tam giác $AKJ$

$ \Rightarrow \frac{{DN}}{{AK}} = \frac{1}{2}$ hay $AK = 2DN$.

Mặt khác, xét $\Delta MND$ và $\Delta MSK$ có:

$\widehat {SKM} = \widehat {DNM}$ (2 góc so le của $SK{\rm{//}}ND$)

$SM = MD\,\,\,\left( { = \frac{1}{2}SD} \right)$ ($S$ là trung điểm $AD$)

$\widehat {SMK} = \widehat {DMN}$ (đối đỉnh)

Do đó, $\Delta MND = \Delta MSK\left( {{\rm{g}}{\rm{.c}}{\rm{.g}}} \right) \Rightarrow SK = ND$.

$ \Rightarrow \frac{{AK}}{{AS}} = \frac{{AK}}{{AK + KS}} = \frac{{2DN}}{{2DN + DN}} = \frac{2}{3}$$\left( 1 \right)$

Lại có $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\frac{{OG}}{{OC}} = \frac{1}{3}$

$ \Rightarrow \frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AO + OG}}{{2OC}} = \frac{{OC + \frac{1}{3}OC}}{{2OC}} = \frac{{\frac{4}{3}OC}}{{2OC}} = \frac{2}{3}$$\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $\frac{{AK}}{{AS}} = \frac{{AG}}{{AC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow KG{\rm{//}}SC$ (định lí Talet trong tam giác $SAC$). (đpcm)

Xét tam giác $SCD$ có $M,I$ lần lượt là các trung điểm $SD,DC$ nên $MI$ là đường trung bình tam giác $SCD \Rightarrow MI{\rm{//}}SC$, mà $KG{\rm{//}}SC$ (chứng minh trên)

$ \Rightarrow MI{\rm{//}}KG \Rightarrow \frac{{JM}}{{MK}} = \frac{{JI}}{{IG}}$.

Ta có: $DI$ là đường trung bình $\Delta ABJ$ nên $I$ là trung điểm $BJ \Rightarrow BI = IJ = \frac{1}{2}BJ$.

$G$ là trọng tâm $\Delta BCD$ nên $\frac{{GI}}{{BI}} = \frac{1}{3}$

$ \Rightarrow \frac{{JI}}{{IG}} = \frac{{BI}}{{\frac{1}{3}BI}} = 3 \Rightarrow \frac{{JM}}{{KM}} = 3 \Rightarrow \frac{{JM}}{{JK}} = \frac{{JM}}{{JM + MK}} = \frac{3}{4}$.

Vậy $\frac{{JM}}{{JK}} = \frac{3}{4}$.