Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy điểm M trên cạnh SA sao cho SA = 3SM. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại điểm N. Tính giá trị của tỉ số\(\frac{{SN}}{{SD}}\). (làm tròn kế

Đáp án: 0,33

Trong mặt phẳng đáy (ABCD), gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Do ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD.

Trong mặt phẳng (SAC), gọi I là giao điểm của hai đường thẳng MC và SO.

Vì SO nằm trong (SBD) nên điểm I ∊ (SBD).

Mặt khác, B ∊ (SBD). Do đó, đường thẳng BI nằm trong (SBD). Trong mặt phẳng (SBD), kéo dài BI cắt SD tại N.

Lại có: I ∊ MC nên I ∊ (BCM). B ∊ (BCM). Do đó đường thẳng BI nằm trong (BCM). Vì N ∊ BI nên N ∊ (BCM).

Vậy N chính là giao điểm của cạnh SD và mặt phẳng (BCM).

Ta có: SA = 3SM nên SM chiếm 1 phần, SA chiếm 3 phần, suy ra MA chiếm 2 phần. Vậy tỉ số \(\frac{{SM}}{{MA}} = \frac{1}{2}\).

O là trung điểm của AC nên AC = 2CO, suy ra tỉ số: \[\frac{{AC}}{{CO}} = 2\].

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SAO với cát tuyến MIC, ta có: \(\frac{{SM}}{{MA}} \cdot \frac{{AC}}{{CO}} \cdot \frac{{OI}}{{IS}} = 1.\)

Thay các tỉ số vào ta được: \[\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{{OI}}{{IS}} = 1\].

Suy ra \[\frac{{OI}}{{IS}} = 1\]. Điều này có nghĩa I là trung điểm của đoạn thẳng SO.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SOD với cát tuyến BIN, ta có: \(\frac{{SI}}{{IO}} \cdot \frac{{OB}}{{BD}} \cdot \frac{{DN}}{{NS}} = 1.\)

Vì O là trung điểm của BD nên DB = 2BO, suy ra tỉ số \[\frac{{OB}}{{BD}}\]= \(\frac{1}{2}\).

Thay các tỉ số vào ta được: \[1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{{DN}}{{NS}} = 1\].

Suy ra \[\frac{{DN}}{{NS}} = 2\].

Nghĩa là DN gấp đôi NS, kéo theo ND chiếm 2 phần, SN chiếm 1 phần, dẫn đến tổng đoạn SD chiếm 3 phần.

Vậy tỉ số \(\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{3} \approx 0,33\).