Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm cạnh SC . a. Tìm giao tuyến của mặt phẳng ( SA C ) và ( SBD )

38/39

(1,5 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm cạnh $SC$.

a. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$

b. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$.

c. Gọi $K$ là giao điểm của $SD$ với mặt phẳng $\left( {AGM} \right)$. Chứng minh rằng $GK//SB$

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy \ (ảnh 1)$

a. Ta có:$S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{O \in AC \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)}\\{O \in BD \Rightarrow O \in \left( {SBD} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$. Vậy: $\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO$.

b. Ta có: $\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in \left( {ABM} \right) \cap \left( {SCD} \right)}\\{AB\parallel CD}\\{AB \subset \left( {ABM} \right),CD \subset \left( {SCD} \right)}\\{\left( {ABM} \right) \cap \left( {SCD} \right) = {M_t}}\end{array}} \right\} \Rightarrow {M_t}\parallel AB\parallel CD$

Trong $\left( {SCD} \right)$ kẻ đường thẳng đi qua M, song song với $CD$ và cắt $SD$tại $N$.

Vậy: $\left( {ABM} \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN$.

c. Gọi $O = AC \cap BD$, $I = AM \cap SO$.

Trong mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, kéo dài $GI$ cắt $SD$ tại $K$$ \Rightarrow K = SD \cap \left( {AMG} \right)$.

Tam giác $SAC$ có $SO$ và $AM$ là hai đường trung tuyến.

Suy ra $I$ là trọng tâm của tam giác $SAC$ nên ta có $\frac{{OI}}{{{\rm{O}}S}} = \frac{1}{3}$. (1)

Mặt khác, $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên có $\frac{{OG}}{{OB}} = \frac{1}{3}$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{OI}}{{OS}} = \frac{{OG}}{{OB}}$$ \Rightarrow GI{\rm{ // }}SB$$ \Rightarrow GK{\rm{ // }}SB$.