Cho hình chóp S . ABCD có đáy 1 là hình thang vuông tại A và 3 AD = 2 AB = 2 BC , CD = 2 a √ 2 . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm M của cạnh CD .

88/97

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy 1 là hình thang vuông tại \(A\) và \(3AD = 2AB = 2BC,CD = 2a\sqrt 2 \). Hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt đáy là trung điểm \(M\) của cạnh \(CD\). Khi \(a = \sqrt {10} \) khoảng cách từ trọng tâm \(G\) của tam giác \(SAD\) đến mặt phẳng ( \(SBM\) )bằng \(\frac{m}{n}\) (là phân số tối giản). Tính giá trị . ?

Đáp án: ___

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đáp án đúng là: 24

Giải chi tiết

Từ gt suy ra \(AD = 2AB = 2BC = 4a\)
Gọi I là trung điểm của AD .
Kéo dài BM cắt AD tại Q , suy ra \(BC = DQ = 2a\),
Ta suy ra: \(d\left[ {G,\left( {SBM} \right)} \right] = \frac{2}{3}d\left[ {I,\left( {SBM} \right)} \right] = \frac{4}{9}d\left[ {A,\left( {SBM} \right)} \right]\)
Do \(SM \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {SMB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow d\left[ {A,\left( {SBM} \right)} \right] = d\left( {A,BM} \right) = \frac{{AQ \cdot AB}}{{BQ}} = \frac{{6a \cdot 2a}}{{2a\sqrt {10} }} = \frac{{3a\sqrt {10} }}{5}\)\(d\left[ {G,\left( {SBM} \right)} \right] = \frac{4}{9}\frac{{3a\sqrt {10} }}{5} = \frac{{4a\sqrt {10} }}{{15}}\).
Với \(a = \sqrt {10} \) thì \(d\left[ {G,\left( {SBM} \right)} \right] = \frac{8}{3}\).
Suy ra \(m.n = 24\).

Đáp án cần điền là: 24